高中数学必修5知识点总结

发布时间:2021-09-24 23:42:00

高中数学必修 5 知识点总结

第一章 解三角形

1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径,

则有 a ? b ? c ? 2R . sin ? sin ? sin C
2、正弦定理的变形公式:① a ? 2Rsin ? , b ? 2Rsin ? , c ? 2Rsin C ;

② sin ? ? a , sin ? ? b , sin C ? c ;

2R

2R

2R

③ a :b : c ? sin ?: sin ?: sinC ;



a?b?c

? a ?b? c.

sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

3、三角形面积公式:

S???C

?

1 2

bc sin

?

?

1 2

absin C

?

1 2

ac sin ? .

4、余弦定理:在 ???C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ?,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

5、余弦定理的推论: cos ? ? b2 ? c2 ? a2 , cos ? ? a2 ? c2 ? b2 , cos C ? a2 ? b2 ? c2 .

2bc

2ac

2ab

6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ;

②若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ;③若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 .

第二章

数列

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15、数列的通项公式:表示数列?an? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.

16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数 列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若
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b ? a ? c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
? ? 19、若等差数列 an 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ?n ?1?d .

20、通项公式的变形:①

an

?

am

? ?n ? m? d

;② a1

?

an

? ?n ?1? d

;③

d

?

an ? a1 n ?1



④ n ? an ? a1 ?1;⑤ d ? an ? am .

d

n?m

21、若?an? 是等差数列,且 m? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;若?an? 是等

差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 2an ? ap ? aq .

22、等差数列的前

n

项和的公式:①

Sn

?

n?a1 ?
2

an

?

;②

Sn

?

na1

?

n?n ?1?
2

d



? ? ? ? 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n??* ,则 S2n ? n an ? an?1 ,且 S偶 ?S 奇 ?nd ,

S奇 ? an . S偶 an?1

? ? ②若项数为 2n ?1 n? ?*

,则 S2n?1

? ?2n ?1? an ,且 S奇

?

S偶

?

an



S奇 S偶

?

n n ?1

(其中

S奇

?

n an



S偶 ? ?n ?1? an ).
24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数 列,这个常数称为等比数列的公比.

25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a ,G ,b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G2 ? ab ,

则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
26、若等比数列?an? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 .

27、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? anq??n?1? ;③ qn?1

?

an a1

;④ q n?m

?

an am



28、若 ?an? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;若?an? 是等

比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 an2 ? ap ? aq .

?na1 ?q ? 1?

? ? 29、等比数列?an?的前 n 项和的公式: Sn

? ? ? a1

1? qn

?

? a1 ? anq ?q ? 1? .

? 1?q

1? q

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? ? 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n? ?* ,则 S偶 ? q . S奇
② Sn?m ? Sn ? qn ? Sm .
③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 成等比数列.
第三章 不等式
31、 a ?b ? 0 ? a ? b ; a ?b ? 0 ? a ? b ; a ?b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b,b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ;

④ a ? b,c ? 0 ? ac ? bc , a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ;

⑥ a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ?n??,n ?1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ?n? ?, n ?1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

判别式 ? ? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c
?a ? 0? 的图象

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0
?a ? 0? 的根

有两个相异实数 根

x1,2

?

?b ? 2a

?

有两个相等实数



x1

?

x2

?

?

b 2a

? x1 ? x2 ?

没有实数根

一元二次

ax2 ? bx ? c ? 0
?a ? 0?

? ? x x ? x1或x ? x2

? ?

x

?

x

?

?

b?

2a

? ?

R

不等式的

解集 ax2 ? bx ? c ? 0

?x x1 ? x ? x2?

?

?

?a ? 0?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
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37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y? ,

所有这样的有序数对 ? x, y?构成的集合.

38、在*面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标*面内的点 ?? x0, y0 ? . ①若 ? ? 0, ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ?? x0, y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0, ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ?? x0, y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.
39、在*面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 .

① 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ?y ?C ?0 表 示 直 线 ?x ? ?y ? C ? 0 上 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线

?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

② 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ?y ?C ?0 表 示 直 线 ?x ? ?y ? C ? 0 下 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线

?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.

40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件.

目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式.

线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y? .
可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 a ? b 称为正数 a 、 b 的算术*均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何*均
2 数. 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 a ? b ? ab .
2
43、常用的基本不等式:① a2 ? b2 ? 2ab?a,b? R? ;② ab ? a2 ? b2 ?a,b ? R? ;
2

③ ab

?

? ??

a

?

b

2
?

2 ??

?a

?

0, b

?

0? ;④

a2

? b2 2

?

? ??

a?b 2

2
? ? ?

?a,b ? R? .

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

来源于网络

⑴若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 s2 . 4
⑵若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
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