2018-2019学年北师大版高中数学选修2-32.3 条件概率与独立事件2.3.2

发布时间:2021-09-24 22:12:58

第2课时 独立事件与独立事件的概率

-1-

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1.了解相互独立事件的概念,及相互独立事件与互斥事件之间的 区别. 2.掌握相互独立事件概率的乘法公式. 3.能用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

一般地,对两个事件 A,B,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称 A,B 相互独立.可 以证明,如果 A,B 相互独立,则 A 与, 与 B,与也相互独立.如果 A1,A2,…,An 相互独立,则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

【做一做】 (1)袋中有3个黄球,4个白球,从中依次取出2个,则取 出的两个都是白球的概率为 . (2)制造一种零件,甲机床的正品率是0.96,乙机床的正品率是0.95, 从它们制造的产品中各任意抽取一件,则两件都是正品的概率 是 .

解析:(1)方法一:用古典概型方法.袋中共有 7 个球,依次取出 2 2 个,基本事件有A2 7 个.令 A={2 次都取得白球},包括A 4 个基本事件,因 此 P(A)=
A2 4 A2 7

= 7.

2

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

方法二:用概率乘法公式.令 A={2 次都取得白球},令 Ai={第 i 次 取得白球}(i=1,2),则 A=A1A2,显然事件 A1,A2 是相互独立的,由乘法公 式,得 P(A)=P(A1A2)=P(A1)· P(A2|A1)= (2)分别用 A,B 表示从甲、乙机床制造的产品中抽得正品.由题 意得,A,B 是相互独立事件,故 P(AB)=P(A)P(B)=0.96×0.95=0.912. 答案:(1) 7
2 4 3 × 7 6

=

2 . 7

(2)0.912

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

题型一

互斥事件与相互独立事件

【例1】 下列每对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件? (1)1 000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中 二等奖; (2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙 中奖; (3)甲组3名男生、2名女生,乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙 两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从 乙组中选出1名女生”; (4)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出 1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是 白球”.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

分析:根据互斥事件和相互独立事件的概念和性质来进行判断. 互斥事件A和B不能同时发生,但可能同时不发生.相互独立事件A和 B各自是否发生互不相关,其中一事件发生与否对另一事件的发生 没有影响,两事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生 另一个不发生. 解:(1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖,即这两个事件不 可能同时发生,故它们是互斥事件. (2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙没有影响,反之亦 然,故它们是相互独立事件. (3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出 1名女生”这一事件发生的概率没有影响,反之亦然,所以它们是相 互独立事件.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

(4)“从 8 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”的概率为 8 , 若这一事件发生了,则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个,取出的仍是 白球”的概率为 ; 若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为
5 . 因此,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者 7 4 7

5

不是相互独立事件,也不是互斥事件.

反思弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件” 不能同时发生,“独立事件”互不影响.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

【变式训练1】 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事 件. (1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”; (2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环”与“乙射中9环”; (3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都 没有射中目标”; (4)甲、乙两运动员各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中 目标,但乙没有射中目标”.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

解:(1)甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发 生,二者是互斥事件. (2)甲、乙各射击1次,“甲射中10环”发生与否,对“乙射中9环”的概 率没有影响,二者是相互独立事件. (3)甲、乙各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中 目标”不可能同时发生,二者是互斥事件. (4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙 没有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相 互独立事件.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

题型二

相互独立事件概率的应用

【例2】 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试 题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从 备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解:(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A,B,则 P(A)=
1 3 C2 6 C4 +C6

C3 10

=

60+20 120 C3 10

=

2 , 3

P(B)=

1 3 C2 8 C2 +C8

= 120 = 15.

56+56

14

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

(2)由题意知事件 A,B 相互独立. 方法一:“甲、乙两人考试均不合格”即事件 发生.因为 P( )=P()P()= P=1-P( )=11 45 2 13 44 . 45

×

14 115

=

1 , 45

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 = 方法二:“甲、 乙两人至少有一人考试合格”即事件 A, B,AB 有 一个发生,且 A , B,AB 彼此互斥. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=P(A)+P(B)+P(AB) =P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B) = ×
2 3 1 1 14 2 14 + × + × 15 3 15 3 15

=

44 . 45

故甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为 .

44 45

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

反思求P(AB)时注意事件A,B是否相互独立,求P(A+B)时应注意事件 A,B是否互斥.对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路:①是分 类讨论;②是求对立事件,利用 P() = 1 ? ()来计算.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

【变式训练 2】 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲 先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮 结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各 次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数 ξ 的分布列. 解 设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 P(Ak)=3,P(Bk)=2(k=1,2,3).
1 1 1 3 1 2

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率公式与 相互独立事件同时发生的概率公式知 P(C)=P(A1)+P(1 1 A2)+P(1 1 2 2 A3)=P(A1)+P(1 )P(1 )P(A2)
1 2 1 1 2 2 +P(1 )P(1 )P(2 )P(2 )P(A3)=3 + 3 × 2 × 3 + 3

×

1 2 2

× 3 = 27.

1

13

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

(2)ξ 的可能取值为 1,2,3,则
1 3

P(ξ=1)=P(A1)+P(1 B1)= + × = ,
2 1 1 2 2 P(ξ=2)=P(1 1 A2)+P(1 1 2 B2)=3 × 2 × 3 + 3 1 P(ξ=3)=P(1 1 2 2 )=9.

2 3

1 2

2 3

×

1 2 2

= 9,

2

所以 ξ 的分布列为
ξ P 1

2 2 3 2 9

3 1 9

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

【例 3】 现有甲、乙两个靶,某射手先向甲靶射击一次,命中的 概率为 ,然后向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,该射手每次射击 的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击.
(1)求射手第一次命中,后二次都未射中的概率; (2)求该射手恰有一次命中的概率; (3)该射手至少命中一次的概率. 分析由于射手射击的结果相互独立,利用相互独立的概率公式求 解.
3 4 2 3

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

解 设“该射手第一次射击击中”为事件 A,“第二次射击击中”为 事件 B,“第三次射击击中”为事件 C. 则 P(A)= ,P(B)=P(C)= . (1)记“第一次命中,后二次未中”为事件 D,由于 A,B,C 相互独立, 则 P(D)=P(A )=P(A)P()P( )=4 × 1- 3 × 1- 3 = 12. 1 即该射手第一次命中,后二次未中的概率为12. (2)记“该射手恰好命中一次”为事件 E,则 E=A ∪ ∪ C,
3 2 2 1 3 4 2 3

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

由事件的独立性与互斥性得 P(E)=P(A )+P( )+P( C)=P(A)P()P( )+P()P(B)P( )+P( )P()P(C)=4 × 1- 3 × 1- 3 + 1- 4 × 3 × 1- 3 + 1- 4 × 12 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 7 × = + × × + × × = + + = . 3 3 12 4 3 3 4 3 3 12 18 18 36 即该射手恰好命中一次的概率为36.
3 7 3 2 2 3 2 2 3

(3)记“该射手至少命中一次”为事件 F,
2 35 . 36

则 P(F)=1-P( )=1- 1- 4 × 1- 3 × 1- 3 =1-4 × 3 × 3 =
35 即该射手至少命中一次的概率为36.

2

1

1

1

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

【变式训练 3】 甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分 别为3 和 4.求
(1)两人都能破译的概率; (2)两人都不能破译的概率; (3)恰有一人能破译的概率; (4)至多有一人能破译的概率.
1 1

解 记“甲能破译”为事件 A,“乙能破译”为事件 B,则 A,B 相互独 立,从而 A 与, 与 B,与均相互独立. (1)“两人都能破译”为事件 AB, 则 (2)“两人都不能破译”为事件 ,则 P( )=P()· P()=[1P(A)]· [1-P(B)]= 1- 3 × 1- 4 = 2.
1 1 1 1 1 P(AB)=P(A)· P(B)=3 × 4

=

1 . 12

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

题型一

题型二

1 P((A)∪(B))=P(A)+P(B)=P(A)· P()+P()· P(B)=3 × 1 1 5 1- × = . 3 4 12

(3)“恰有一人能破译”为事件(A )∪(B).又 A与B 互斥,则
1 1- 4

+

(4)“至多一人能破译”为事件(A)∪(B)∪( ),且 A, B, 互斥,故 P((A )∪(B)∪( ))=P(A )+P(B)+P( )=P(A)· P()+P()· P(B)+P()· P()= × 11- 3 × 4 + 1- 3 × 1- 4 = 12.
1 1 1 1 11 1 3 1 4

+

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

1.甲、乙两名射击运动员射击同一目标,命中的概率分别为0.8和 0.7,若各射击一次,目标被击中的概率是( ) A.0.56 B.0.92 C.0.94 D.0.96

解析:设“甲击中目标”为事件 A,“乙击中目标”为事件 B,目标被击中 即为事件 A 发生或事件 B 发生,则 P=P() + () + () = 0.8 × 0.3 + 0.2 × 0.7 + 0.8 × 0.7 = 0.94. 答案:C

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

2.掷一枚骰子一次,设事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6 点”,则事件A,B的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 解析:事件 A={2,4,6},事件 B={3,6},事件 AB={6},基本事件空间

Ω ={1,2,3,4,5,6}.所以 P(A)=

3 6

=

1 , () 2

= =

2 6

1 , () 3

=

1 , 6

即P(AB)=P(A)P(B),因此,事件 A 与 B 相互独立. 当“出现 6 点”时,事件 A 与事件 B 都发生,所以 A,B 不是互斥事 件. 答案:B

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

3.一个学生通过某英语听力测试的概率为 , 他连续测试 2 次, 那么其中恰有一次通过的概率为(
1 1 A. 4 B. 3 1 1 C. D. 2 5

1 2

)

解析:其中恰有一次获得通过的概率 P= 2 × 1- 2 + 1- 2 × 2 = 2. 答案:C

1

1

1

1

1

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

4.一袋中有 3 个红球,2 个白球,另一袋中有 2 个红球,1 个白球,从每袋 中任取一球,则至少取一白球的概率为 . 解析:至少取一白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一袋中 取一球为红球的概率为 5 , 从另一袋中取一球为红球的概率为 3 , 则至少取一白球的概率为1? 5 × 3 = 5. 答案:
3 5 3 2 3 3 2

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

5某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、 乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时 响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率 是 . 解析至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=10.10×0.20=0.98. 答案0.98

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

6.甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的 胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局. (1)求再赛2局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. 解:设Ai表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5, Bj表示事件:第j局乙获胜,j=3,4. (1)记A表示事件:再赛2局结束比赛, 则A=A3A4∪B3B4. 由于各局比赛结果相互独立,故 P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0. 6×0.6+0.4×0.4=0.52.

目标导航

知识梳理

典例透析

随堂演练

1

2

3

4

5

6

(2)设B表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅 当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5, 由于各局比赛结果相互独立,故 P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)· P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5) +P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.


相关文档

  • 2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.1条件概率与独立事件学案北师大版选修1_2
  • 2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.1条件概率与独立事件课件北师大版选修1_2
  • 2018_2019学年高中数学课时跟踪检测(二)条件概率与独立事件(含解析)北师大版选修1_2
  • 2018_2019学年高中数学第一章统计案例2.2.1条件概率与独立事件课件北师大版选修1_2
  • 猜你喜欢

    电脑版